Глава 9. Статистика интервальных данных
 
В статистике интервальных данных, как части статистики нечисловых данных, элементы выборки - не числа, а интервалы. Это приводит к алгоритмам и выводам, принципиально отличающимся от классических. В главе 9 рассмотрены основные идеи и подходы асимптотической статистики интервальных данных, приведены результаты, связанные с основополагающими в рассматриваемой области эконометрики понятиями нотны и рационального объема выборки.  

9.1. Основные идеи статистики интервальных данных 

Перспективная и быстро развивающаяся область статистических исследований последних лет - статистика интервальных данных. Речь идет о развитии эконометрических  методов в ситуации, когда статистические данные - не числа, а интервалы, в частности, порожденные наложением ошибок измерения на значения случайных величин.  
	В настоящее время признается необходимым изучение устойчивости (робастности) оценок параметров к малым отклонениям исходных данных и предпосылок модели. Однако популярная среди теоретиков (см. ниже в главе 10) модель засорения (Тьюки-Хьюбера) представляется не вполне адекватной. Эта модель нацелена на изучение влияния больших "выбросов". Поскольку любые реальные измерения лежат в некотором фиксированном диапазоне, а именно, заданном в техническом паспорте средства измерения, то зачастую выбросы не могут быть слишком большими. Поэтому представляются полезными иные, более общие схемы устойчивости, в частности, рассмотренные в главе 10 ниже, в которых, например, учитываются отклонения распределений результатов наблюдений от предположений модели.
	В одной из таких схем изучается влияние интервальности исходных данных на статистические выводы. Необходимость такого изучения стала для нас очевидной следующим образом. В государственных стандартах СССР по прикладной статистике в обязательном порядке давалось справочное приложение "Примеры применения правил стандарта". При разработке ГОСТ 11.011-83 (см. издание [1]) нам были переданы для анализа реальные данные о наработке резцов до предельного состояния (в часах). Оказалось, что все эти данные представляли собой либо целые числа, либо полуцелые (т.е. после умножения на 2 становящиеся целыми). Ясно, что исходная длительность наработок резцов до отказа искажена. Необходимо учесть в статистических процедурах наличие такого искажения исходных данных. Как это сделать?
	Первое, что приходит в голову - модель группировки данных, согласно которой для истинного случайного значения Х (мысленно) проводится замена на ближайшее число из множества {0,5n, n=1,2,3,...}. Однако эту модель нельзя принимать без обсуждения, ее целесообразно подвергнуть сомнению, а также рассмотреть иные модели. Так, возможно, что Х надо приводить к ближайшему сверху элементу указанного множества - если проверка качества поставленных на испытание резцов проводилась раз в полчаса. Другой вариант модели: если расстояния от Х до двух ближайших элементов множества {0,5n, n=1,2,3,...} примерно равны, то естественно ввести рандомизацию при выборе заменяющего числа, и т.д.  
	Наиболее адекватной представляется новая эконометрическая модель, согласно которой результаты наблюдений - не числа, а интервалы. Например, если в таблице приведено значение 53,5, то это значит, что реальное значение - какое-то число от 53,0 до 54,0, т.е. какое-то число в интервале [53,5-0,5; 53,5+0,5], где 0,5 - максимально возможная погрешность. Принимая эту модель, мы попадаем в научную область под названием "статистика интервальных данных". Она идейно связана с интервальной математикой, в которой в роли чисел выступают интервалы (см., например, монографию [2] академика РАН Ю.И. Шокина). Это направление математики является дальнейшим развитием всем известных правил приближенных вычислений, посвященных выражению погрешностей суммы, разности, произведения, частного через погрешности тех чисел, над которыми осуществляются перечисленные операции. Как видно из сборника трудов Международной конференции по интервальным и стохастическим методам в науке и технике (ИНТЕРВАЛ-92), к настоящему времени удалось решить, в частности, ряд задач теории интервальных дифференциальных уравнений, в которых коэффициенты, начальные условия и решения описываются с помощью интервалов. По мнению ряда специалистов, статистика интервальных данных является  частью интервальной математики [7]. Впрочем, есть другая точка зрения, согласно которой такое включение нецелесообразно, поскольку статистика интервальных данных использует несколько иные подходы к алгоритмам анализа реальных данных, чем сложившиеся в интервальной математике (подробнее см. ниже). 
Общее описание направлений статистического анализа интервальных данных. Ниже развиваются асимптотические методы статистического анализа интервальных данных при больших объемах выборок и малых погрешностях измерений. В отличие от классической математической статистики, сначала устремляется к бесконечности объем выборки и только потом - уменьшаются до нуля погрешности. В частности, еще в начале 1980-х годов с помощью такой асимптотической теории были сформулированы правила выбора метода оценивания параметров гамма-распределения в ГОСТ 11.011-83 [1].
Разработана общая схема исследования, включающая расчет нотны (максимально возможного отклонения статистики, вызванного интервальностью исходных данных) и рационального объема выборки (превышение которого не дает существенного повышения точности оценивания). Она применена к оцениванию математического ожидания и дисперсии, медианы и коэффициента вариации, параметров гамма-распределения и характеристик аддитивных статистик, при проверке гипотез о параметрах нормального распределения, в т.ч. с помощью критерия Стьюдента, а также гипотезы однородности с помощью критерия Смирнова. Изучено асимптотическое поведение оценок метода моментов и оценок максимального правдоподобия (а также более общих - оценок минимального контраста), проведено асимптотическое сравнение этих методов в случае интервальных данных, найдены общие условия, при которых, в отличие от классической математической статистики, метод моментов дает более точные оценки, чем метод максимального правдоподобия. Разработаны подходы к рассмотрению интервальных данных в основных постановках регрессионного, дискриминантного и кластерного анализов. В частности, изучено влияние погрешностей измерений и наблюдений на свойства алгоритмов регрессионного анализа, разработаны способы расчета нотн и рациональных объемов выборок, введены и исследованы новые понятия многомерных и асимптотических нотн, доказаны соответствующие предельные теоремы. Начата разработка интервального дискриминантного анализа, в частности, рассмотрено влияние интервальности данных на показатель качества классификации. 
Как показала, в частности, международная конференция ИНТЕРВАЛ-92, в области асимптотической математической статистики интервальных данных российская научная школа имеет мировой приоритет. По нашему мнению, со временем во все виды статистического программного обеспечения должны быть включены алгоритмы интервальной статистики, "параллельные" обычно используемым алгоритмам прикладной математической статистики. Это позволит в явном виде учесть наличие погрешностей у результатов наблюдений, сблизить позиции метрологов и статистиков.
	Многие из утверждений статистики интервальных данных весьма отличаются от аналогов из классической математической статистики. В частности, не существует состоятельных оценок; средний квадрат ошибки оценки, как правило, асимптотически равен сумме дисперсии оценки, рассчитанной согласно классической теории, и некоторого положительного числа (равного квадрату т.н. нотны - максимально возможного отклонения значения статистики из-за погрешностей исходных данных) - в результате метод моментов оказывается иногда точнее метода максимального правдоподобия; нецелесообразно увеличивать объем выборки сверх некоторого предела (называемого рациональным объемом выборки) - вопреки классической теории, согласно которой чем больше объем выборки, тем точнее выводы. 
	История развития статистики интервальных данных противоречива. Так, в стандарт [1] был включен специальный раздел 5, посвященный выбору метода оценивания при неизвестных параметрах формы и масштаба и известном параметре сдвига, он был основан на концепциях статистики интервальных данных. Однако теоретическое обоснование этого раздела стандарта было опубликовано лишь через 5 лет. Следует отметить, что хотя в 1982 г. при разработке стандарта [1] уже были найдены основные идеи статистики интервальных данных, однако они не были полностью реализованы в нормативном документе (ГОСТ 11.011-83), и этот стандарт написан в основном в классической манере. Развитие идей статистики интервальных данных продолжается уже в течение 20 лет, и еще много чего надо сделать! Большое значение статистики интервальных данных для современной прикладной статистики обосновано в статье [3].
Одна из ведущая научная школа в области статистики интервальных данных - это школа проф. А.П. Вощинина, активно работающая с конца 70-х годов. Полученные результаты отражены в ряде монографий (см., в частности, [4-6]), статей [7], научных докладов, в том числе в трудах Международной конференции ИНТЕРВАЛ-92, диссертаций. В частности, изучены проблемы регрессионного анализа, планирования эксперимента, сравнения альтернатив и принятия решений в условиях интервальной неопределенности. Рассмотренное ниже направление исследований отличается нацеленностью на асимптотические результаты, полученные при больших объемах выборок и малых погрешностях измерений, поэтому оно и названо асимптотической статистикой интервальных данных.
Сформулируем сначала основные идеи асимптотической математической статистики интервальных данных, а затем рассмотрим реализацию этих идей на некоторых из перечисленных выше примеров. Следует сразу подчеркнуть, что основные идеи достаточно просты,  в то время как их проработка в конкретных ситуациях зачастую оказывается достаточно трудоемкой.
Основные понятия асимптотической математической статистики интервальных данных. Пусть существо реального явления описывается выборкой x1 , x2 , ..., xn . В вероятностной теории математической статистики, из которой мы исходим (см. приложение 1 в конце книги), выборка - это набор независимых в совокупности одинаково распределенных случайных величин. Однако беспристрастный и тщательный анализ подавляющего большинства реальных задач показывает, что статистику известна отнюдь не выборка x1 , x2 , ..., xn , а величины
yj =  xj + j  ,  j = 1, 2, ... , n , 
где  некоторые погрешности измерений, наблюдений, анализов, опытов, исследований (например, инструментальные ошибки). 
	Одна из причин появления погрешностей - запись результатов наблюдений с конечным числом значащих цифр. Дело в том, что для случайных величин с непрерывными функциями распределения событие, состоящее в попадании хотя бы одного элемента выборки в множество рациональных чисел, согласно правилам теории вероятностей имеет вероятность 0, а такими событиями в теории вероятностей принято пренебрегать. Поэтому при рассуждениях о выборках из нормального, логарифмически нормального, экспоненциального, равномерного, гамма - распределений, распределения Вейбулла-Гнеденко и др. приходится принимать, что эти распределения имеют элементы исходной выборки x1 , x2 , ..., xn , в то время как статистической обработке доступны лишь искаженные значения yj =  xj + j. 
	Введем обозначения
x = (x1 , x2 , ..., xn ), y = (y1 , y2 , ..., yn ),  
	Пусть статистические выводы основываются на статистике  используемой для оценивания параметров и характеристик распределения, проверки гипотез и решения иных статистических задач. Принципиально важная для статистики интервальных данных идея такова: СТАТИСТИК ЗНАЕТ ТОЛЬКО f(y), НО НЕ f(x). 
	Очевидно, в статистических выводах необходимо отразить различие между f(y) и f(x). Одним из двух основных понятий статистики интервальных данных является понятие нотны.
	Определение. Величину максимально возможного (по абсолютной величине) отклонения, вызванного погрешностями наблюдений , известного статистику значения f(y) от истинного значения f(x), т.е. 
Nf(x) = sup | f(y) - f(x) | ,
где супремум берется по множеству возможных значений вектора погрешностей  (см. ниже), будем называть НОТНОЙ. .
Если  функция  f  имеет  частные  производные  второго  порядка, а ограничения на погрешности имеют вид
		(1)

причем мало, то можно показать, что нотна с точностью до бесконечно малых более высокого порядка имеет вид 
Условие (1) означает, что исходные данные представляются  статистику в виде интервалов  (отсюда и  название  этого  научного направления). Ограничения  на  погрешности  могут  задаваться   разными способами - кроме абсолютных ошибок используются относительные или  иные показатели различия между x и y.
Основные результаты в вероятностной модели. В классической  вероятностной  модели имеют элементы исходной выборки x1 , x2 , ..., xn  рассматриваются как независимые одинаково распределенные случайные величины.  Как  правило, существует некоторая константа C > 0 такая, что в смысле сходимости  по вероятности
		(2)
Соотношение (2) доказывается отдельно для каждой конкретной задачи.
	При использовании классических эконометрических методов в большинстве случаев используемая статистика f (x) является асимптотически нормальной. Это означает, что существуют константы а и  òàêèå, ÷òî

ãäå  функция стандартного нормального распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. При этом обычно оказывается, что 

и

а потому в классической эконометрике средний квадрат ошибки статистической оценки равен

с точностью до членов более высокого порядка. 
	В статистике интервальных данных ситуация совсем иная - обычно можно доказать, что средний квадрат ошибки равен
		(3)
Из соотношения (3) можно сделать ряд важных следствий. Прежде всего отметим, что правая часть этого равенства, в отличие от правой части соответствующего классического равенства, не стремится к 0 при безграничном возрастании объема выборки. Она остается больше некоторого положительного числа, а именно, квадрат нотны. Следовательно, статистика f(x) не является  состоятельной оценкой параметра a. Более того, состоятельных оценок вообще не существует.
Пусть доверительным интервалом для параметра a, соответствующим заданной доверительной вероятности , в классической  математической  статистике является  интервал  В статистике интервальных данных аналогичный доверительный интервал является более широким. Он имеет вид Таким образом, его длина увеличивается на две нотны. Следовательно, при увеличении объема выборки длина доверительного интервала не может стать меньше, чем  (см. формулу (2)).
В статистике интервальных данных методы оценивания параметров имеют  другие свойства по сравнению с классической математической  статистикой.  Так, при больших объемах выборок метод моментов может быть заметно лучше, чем метод максимального правдоподобия (т.е. иметь меньший средний квадрат  ошибки - см. формулу (3)),  в  то  время  как  в  классической  математической статистике второй из названных методов всегда не хуже первого.
Рациональный объем выборки. Анализ формулы (3) показывает, что в отличие от классической математической статистики нецелесообразно безгранично увеличивать объем выборки, поскольку средний квадрат ошибки остается всегда большим квадрата нотны. Поэтому представляется полезным ввести понятие "рационального объема выборки" nrat, при достижении которого продолжать наблюдения нецелесообразно.
Как установить "рациональный объем выборки"? Можно воспользоваться идеей "принципа уравнивания погрешностей", выдвинутой в монографии [8]. Речь идет о том, что вклад погрешностей различной природы в общую погрешность должен быть примерно одинаков. Этот принцип дает возможность выбирать необходимую точность оценивания тех или иных характеристик в тех случаях, когда это зависит от исследователя. В статистике интервальных данных в соответствии с "принципом  уравнивания  погрешностей" предлагается определять рациональный объем выборки nrat из  условия  равенства двух величин - метрологической составляющей, связанной с нотной, и статистической составляющей - в среднем квадрате ошибки (3), т.е. из условия

	Для практического использования выражения для рационального объема выборки неизвестные теоретические характеристики необходимо заменить их оценками. Это делается в каждой конкретной задаче по-своему.
Исследовательскую программу в области статистики интервальных данных можно "в двух словах" сформулировать так: для любого эконометрического алгоритма анализа данных (алгоритма прикладной статистики) необходимо вычислить нотну и рациональный объем выборки (или иные величины из того же понятийного ряда, возникающие в многомерном случае, при наличии нескольких выборок и при иных обобщениях описываемой здесь простейшей схемы). Затем проследить влияние погрешностей исходных данных на точность оценивания, доверительные интервалы, значения статистик критериев при проверке гипотез, уровни значимости и другие характеристики статистических выводов. Очевидно, классическая математическая статистика является частью статистики интервальных данных, выделяемой условием = 0.

9.2. Примеры статистического анализа интервальных данных

	Поясним теоретические концепции статистики интервальных данных на простых примерах.
Пример 1. Оценивание математического ожидания. Пусть необходимо оценить математическое ожидание случайной величины с помощью обычной оценки (см. главу 4) - среднего арифметического результатов наблюдений, т.е.

Тогда  Таким образом, нотна полностью известна и не зависит от многомерной точки, в которой берется. Вполне естественно: если каждый результат наблюдения известен с точностью до , то и среднее арифметическое известно с той же точностью. Ведь возможна систематическая ошибка - если к каждому результату наблюдению добавить , то и среднее арифметическое увеличится на .
	Поскольку

то в обозначениях предыдущего пункта

Следовательно, рациональный объем выборки равен

	Для практического использования полученной формулы надо оценить дисперсию результатов наблюдений. Можно доказать, что, поскольку мало, это можно сделать обычным способом, например, с помощью несмещенной выборочной оценки дисперсии

Здесь и далее рассуждения часто идут на двух уровнях. Первый - это уровень "истинных" случайных величин, обозначаемых "х", описывающих реальность, но неизвестных эконометрику. Второй - уровень известных эконометрику величин "у", отличающихся погрешностями от истинных. Погрешности малы, поэтому функции от х отличаются от функций от у на некоторые бесконечно малые величины. Эти соображения и позволяют нам использовать s2(y) как оценку D(x1). 
	Итак, выборочной оценкой рационального объема выборки является

	Уже на этом первом рассматриваемом примере видим, что рациональный объем выборки находится не где-то вдали, а непосредственно рядом с теми объемами, с которыми имеет дело любой практически работающий эконометрик. Например, если статистик знает, что  то nrat = 36. А именно такова погрешность контрольных шаблонов во многих технологических процессах! Поэтому, занимаясь эконометрикой качества (см. главу 13), обратите внимание и на действующую на предприятии систему измерений.
	По сравнению с главой 4 доверительный интервал для математического ожидания (для заданной доверительной вероятности ) имеет другой вид:
		(4)
где - квантиль порядка (1+ )/2 стандартного нормального распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1..
По поводу формулы (4) была довольно жаркая дискуссия среди специалистов. Отмечалось, что она получена на основе Центральной Предельной Теоремы теории вероятностей и может быть использована при любом распределении результатов наблюдений (с конечной дисперсией). Если же имеется дополнительная информация, то, по мнению отдельных специалистов, формула (4) может быть уточнена. Например, если известно, что распределение xi является нормальным, в качестве u() целесообразно использовать квантиль распределения Стьюдента. К этому надо добавить, что по небольшому числу наблюдений нельзя надежно установить нормальность, а при росте объема выборки квантили распределения Стьюдента приближаются к квантилям нормального распределения. Вопрос о том, часто ли результаты наблюдений имеют нормальное распределение, подробно обсуждался  в начале главы 4.
Пример 2. Оценивание дисперсии. Для статистики f(y) = s2(y), где s2(y) - выборочная дисперсия (несмещенная оценка теоретической дисперсии), имеем

Можно показать, что нотна Nf(y) сходится к

по вероятности с точностью до , когда n стремится к бесконечности. Это же предельное соотношение верно и для нотны Nf(х), вычисленной для исходных данных. Таким образом, в данном случае справедлива формула (2) с 

Известно что случайная величина

является асимптотически нормальной с математическим ожиданием 0 и дисперсией Этот факт использовался в главе 4 для построения асимптотического доверительного интервала для дисперсии.
	Из сказанного вытекает, что в статистике интервальных данных асимптотический доверительный интервал для дисперсии  (соответствующий доверительной вероятности ) имеет вид

где

где обозначает тот же самый квантиль стандартного нормального распределения, что и выше в случае оценивания математического ожидания.
Рациональный объем выборки для дисперсии равен

а выборочную оценку рационального объема выборки  можно  вычислить, заменяя теоретические моменты на соответствующие выборочные и используя доступные эконометрику результаты наблюдений, содержащие погрешности.
	Что можно сказать о численной величине рационального объема выборки? Как и в случае оценивания математического ожидания, она отнюдь не выходит за пределы обычно используемых объемов выборок. Так, если распределение результатов наблюдений  является нормальным с математическим ожиданием 0 и дисперсией , то в результате вычисления моментов случайных величин в предыдущей формуле получаем, что 

Например, если  то  Это меньше, чем при оценивании математического ожидания в предыдущем примере.
9.3. Статистика интервальных данных и оценки погрешностей
 характеристик финансовых потоков инвестиционных проектов
 
	Методы статистики интервальных данных оказываются полезными не только в традиционных эконометрических задачах, но и во многих других областях экономики и менеджмента, например, в инновационном менеджменте.
	Основная идея формулируется так. Все знают, что любое инженерное измерение проводится с некоторой погрешностью. Эту погрешность обычно приводят в документации и учитывают при принятии решений. Ясно, что и любое экономическое измерение также проводится с погрешностью. А вот какова она? Необходимо уметь ее оценивать, поскольку ошибки при принятии экономических решений обходятся дорого.
Например, как принимать решение о выгодности или невыгодности инвестиционного проекта? Как сравнивать инвестиционныепроекты между сообой? Как известно, для решения этих задач используют такие экономические характеристики, как NPV (Net Present Value) - чистая текущая стоимость (этот термин переводится с английского также как чистый дисконтированный доход, чистое приведенное значение и др.), внутренняя норма доходности, срок окупаемости, показатели рентабельности и др. 
	С экономической точки зрения инвестиционные проекты описываются финансовыми потоками, т.е. функциями от времени, значениями которых являются платежи (и тогда значения этих функций отрицательны) и поступления (значения функций положительны). Сравнение инвестиционных проектов - это сравнение функций от времени с учетом  внешней среды, проявляющейся в виде дисконт-функции (как результата воздействия СТЭП-факторов), и представлений законодателя или инвестора - обычно ограничений на финансовые потоки платежей и на горизонт планирования. Основная проблема при сравнении инвестиционных проектов такова: что лучше - меньше, но сейчас, или больше, но потом? Как правило, чем больше вкладываем сейчас, тем больше получаем в более или менее отдаленном будущем. Вопрос в том, достаточны ли будущие поступления, чтобы покрыть нынешние платежи и дать приемлемую для инвестора прибыль?
 	В настоящее время широко используются различные теоретические подходы к сравнению инвестиционных проектов и облегчающие расчеты компьютерные системы, в частности, Project Expert, COMFAR, PROPSIN, Альт-Инвест, ТЭО-ИНВЕСТ. Однако ряд важных моментов в них не учтен. 
	Введем основные понятия. 	Дисконт-функция как функция от времени показывает, сколько стоит для фирмы 1 руб. в заданный момент времени, если его привести к начальному моменту. Если дисконт-функция - константа для разных отраслей, товаров и проектов, то эта константа называется дисконт-фактором, или просто дисконтом. Дисконт-функция определяется совместным действием различных факторов, в частности, реальной процентной ставки и индекса инфляции. Реальная процентная ставка описывает "нормальный" рост экономики (т.е. без инфляции). В стабильной ситуации доходность от вложения средств в различные отрасли, в частности, в банковские депозиты, примерно одинакова.  Сейчас она, по оценке ряда экспертов, около 12%. Итак, нынешний 1 руб. превращается в 1,12 руб. через год, а потому 1 руб. через год соответствует 1/1,12 = 0,89 руб. сейчас - это и есть максимум дисконта. 
	Обозначим дисконт буквой С. Если q - банковский процент (плата за депозит), т.е. вложив в начале года в банк 1 руб., в конце года получим (1+ q) руб., то дисконт определяется по формуле С=1/(1+q). При таком подходе полагают, что банковские проценты одинаковы во всех банках. Более правильно было бы считать q, а потому и С, нечисловыми величинами, а именно, интервалами [q1; q2] и [С1; С2]. Следовательно, экономические выводы должны быть исследованы на устойчивость (применяют и термин "чувствительность") по отношению к возможным отклонениям.  
Как функцию времени t дисконт-функцию обозначим C(t). При постоянстве дисконт-фактора имеем C(t) = Сt. Если q = 0,12, С = 0,89, то 1 руб. за 2 года превращается в 1,122 = 1,2544, через 3 - в 1,4049. Итак, 1 руб., получаемый через 2 года, соответствует 1/1,2544=0,7972 руб., т.е. 79,72 коп. сейчас, а 1 руб., обещанный через 3 года, соответствует 0,71 руб. сейчас. Другими словами, С(2) = 0,80, а С(3) = 0,71. Если дисконт-фактор зависит от времени, в первый год равен С1, во второй  - С2, в третий - С3,..., в t-ый год - Сt, то  C(t)=С1С2С3...Сt. .
	Рассмотрим характеристики потоков платежей. Срок окупаемости - тот срок, за который доходы покроют расходы. Обычно предполагается, что после этого проект приносит только прибыль. Это верно не всегда. Простейший вариант, для которого не возникает никаких парадоксов, состоит в том, что все инвестиции (капиталовложения) делаются сразу, в начале, а затем инвестор получает только доход. Сложности возникают, если проект состоит из нескольких очередей, вложения распределены во времени. Тогда, например, понятие "срок окупаемости" может быть денежных единиц со временем, т.е. не учитывает дисконтирование. Если неоднозначно - вслед за окупаемостью первой очереди может придти очередь затрат на вторую очередь проекта…
Примитивный способ расчета срока окупаемости состоит в делении объема вложений А на ожидаемый ежегодный доход В. Тогда срок окупаемости равен А/В. Этот способ падение стоимости дисконт-фактор равен С, то максимально возможный суммарный доход равен 
ВС+ВС2+ВС3+ВС4+ВС5+...=ВС(1+С+С2+С3+С4+...) = ВС / (1-С).
Если А/В меньше С/(1-С), то можно рассчитать срок окупаемости проекта, но он будет больше, чем А/В. Если же А/В больше или равно С/(1-С), то проект не окупится никогда. Поскольку максимум С равен 0,89, то проект не окупится никогда, если А/В не меньше 8,09.
	Пусть вложения равны 1 млн. руб., ежегодная прибыль составляет 500 тыс., т.е. А/В=2, дисконт-фактор С=0.8. При примитивном подходе (при С=1) срок окупаемости равен 2 годам. А на самом деле? За k лет будет возвращено 
ВС(1+С+С2+С3+С4+...+Сk)=ВС(1-Сk+1) / (1-С).
Срок окупаемости k получаем из уравнения 1=0,5х0,8(1-0,8 k+1)/(1- 0,8), откуда k= 2,11. Он оказался равным 2,11 лет, т.е. увеличился примерно на 4 недели. Это немного. Однако если В = 0,2, то имеем уравнение 1=0,2х0,8(1-0,8k+1)/ (1- 0,8). У этого уравнения нет корней, поскольку А/В=5>С/(1-С)=0.8/(1-0,8)=4. Проект не окупится никогда. Прибыль можно ожидать лишь при А/В<4. Рассмотрим промежуточный случай, В=0,33, с "примитивным" сроком окупаемости 3 года. Тогда  имеем уравнение 1=0,33х0,8 (1-0,8 k+1)/ (1-0,8), откуда k = 5,40.  
	Рассмотрим финансовый поток a(0), a(1), a(2), a(3), ... , a(t), .... (для простоты примем, что платежи или поступления происходят раз в год). Выше рассмотрен поток с одним платежом a(0)=(-А) и дальнейшими поступлениями a(1) = a(2) = a(3) = ... = a(t) = .... = В. Чистая текущая стоимость (Net Present Value, сокращенно NPV), рассчитывается для финансового потока путем приведения затрат и поступлений к начальному моменту времени: 
NPV = a(0) +a(1)С(1)+a(2)С(2)+a(3)С(3)+...+ a(t)С(t) + ...,
где С(t) - дисконт-функция. В простейшем случае, когда дисконт-фактор не меняется год от года и имеет вид С=1/(1+q), формула для NPV конкретизируется:
 NPV=NPV(q)=a(0)+a(1)/(1+q) + a(2)/(1+q)2 +a(3)/(1+q)3 +...+a(t)/(1+q)t + ...
Пусть, например, a(0)= -10, a(1)=3, a(2)=4, a(3)=5. Пусть q=0,12, тогда 
NPV(0,12)=-10+3х0,89+4х0.80+5х0,71=-10+2,67 + 3,20+3,55= -0,58.
Итак, проект невыгоден для вложения капитала, поскольку NPV(0,12) отрицательно. При отсутствии дисконтирования (при С = 1, q = 0) вывод иной: 
NPV(0) = - 10 + 3 + 4 + 5 = 2,
проект выгоден.
	Срок окупаемости и сам вывод о прибыльности проекта зависят от неизвестного дисконт-фактора С или даже от неизвестной дисконт-функции - ибо какие у нас основания считать будущую дисконт-функцию постоянной? Экономическая история России последних лет показывает, что банки часто меняют проценты платы за депозит. Часто предлагают использовать норму дисконта, равную приемлемой для инвестора норме дохода на капитал. Это значит, что экономисты явным образом обращаются к инвестору как к эксперту, который должен назвать им некоторое число исходя из своего опыта и интуиции (т.е. экономисты перекладывают свою работу на инвестора). Кроме того, при этом игнорируется изменение указанной нормы во времени, 
	Приведем пример исследования NPV на устойчивость (чувствительность) к малым отклонениям значений дисконт-функции. Для этого надо найти максимально возможное отклонение NPV при допустимых отклонениях значений дисконт-функции (или, если угодно, значений банковских процентов). В качестве примера рассмотрим 
NPV = NPV (a(0), a(1), С(1), a(2), С(2), a(3), С(3))=
= a(0) + a(1)С(1) + a(2)С(2) + a(3)С(3).
Предположим, что изучается устойчивость (чувствительность) для ранее рассмотренных значений 
a(0)=-10, a(1)=3, a(2)=4, a(3)=5, С(1)=0,89, С(2)=0,80, С(3)=0,71.
Пусть максимально возможные отклонения С(1), С(2), С(3) равны +0,05. Тогда, максимум значений NPV равен
NPVmax = -10+3х0,94+4х0.85+5х0,76 = -10+ 2,82 + 3,40 + 3,80 = 0,02,
в то время как минимум значений NPV есть 
NPVmin = -10+3х0,84+4х0.75+5х0,66 = -10 +2,52 +3,00+3,30 = -1,18.
Для NPV получаем интервал от (-1,18) до (+0,02). В нем есть и положительные, и отрицательные значения. Следовательно, нет однозначного заключения - проект убыточен или выгоден. Для принятия решения не обойтись без экспертов.  
	Для иных характеристик, например, внутренней нормы доходности, выводы аналогичны. Дополнительные проблемы вносит неопределенность горизонта планирования, а также будущая инфляция (см. главу 7). Если считать, что финансовый поток должен учитывать инфляцию, то это означает, что до принятия решений об инвестициях необходимо на годы вперед спрогнозировать рост цен, а это до сих пор еще не удавалось ни одной государственной или частной исследовательской структуре. Если же рост цен не учитывать, то отдаленные во времени доходы могут "растаять" в огне инфляции. На практике риски учитывают, увеличивая q на десяток-другой процентов. 
Следующая глава 10 посвящена более подробному рассмотрению проблем исследования устойчивости эконометрических выводов по отношению к возможным отклонениям исходных данных и предпосылок моделей. 
Цитированная литература

1. ГОСТ 11.011-83. Прикладная статистика. Правила определения оценок и доверительных границ для параметров гамма-распределения. - М.: Изд-во стандартов, 1984. - 53 с.  
2. Шокин Ю.И. Интервальный анализ. Новосибирск: Наука, 1981, 112 с. 
3. Орлов А.И. Современная прикладная статистика. - Заводская лаборатория. 1998. Т.64. № 3. - С.52-60.
4. Вощинин А.П. Метод оптимизации объектов по интервальным моделям целевой функции. - М.: МЭИ, 1987. - 109 с. 
5. Вощинин А.П., Сотиров Г.Р. Оптимизация в условиях неопределенности. - М.: МЭИ - София: Техника, 1989. - 224 с.
6. Вощинин А.П., Акматбеков Р.А. Оптимизация по регрессионным моделям и планирование эксперимента. - Бишкек: Илим, 1991. - 164 с.
7. Вощинин А.П. Метод анализа данных с интервальными ошибками в задачах проверки гипотез и оценивания параметров неявных линейно параметризованных функций. - Заводская лаборатория. 2000. Т.66. № 3. - С.51-65.
8. Орлов А.И. Устойчивость в социально-экономических моделях. - М.: Наука, 1979. - 296 с.
9..Орлов А.И. Интервальный статистический анализ. – В сб.: Статистические методы оценивания и проверки гипотез. Межвузовский сборник научных трудов. – Пермь: Изд-во Пермского государственного университета, 1993. - С.149-158.